“这位同学,请保持清醒,不要在考场上打瞌睡。”监考老师十分严肃的提醒沈奇。
“嗯,抱歉。”沈奇揉揉太阳穴,最近一段时间改《奥数冠军沈奇的数学技巧》的稿子,改的他心力憔悴,没怎么休息好。
“赶紧搞定最后一道计算题,搞完了回家补觉。”沈奇打起精神,仔细审题。
审完最后一道25分的计算题,沈奇终于有了几分兴趣:“就这最后一题,像是正规物理老师出的题。”
物理计算题大多配有示意图,不配图的物理题一般呈现两种极端,一种是简单的想打瞌睡,另一种是难的吊炸天。
初赛镇宅之题的分值最高,25分,这道计算配有示意图。
示意图是一个圆,从圆心O到圆周七点钟方位画有一条虚线R,这条虚线R是圆的半径。在圆心O旁边不远处有个小黑点mq。
本题的文字描述是:
“如图所示,电荷线密度为λ(λ>0),半径为R的均匀带点圆环固定在光滑的水平绝缘桌面上。质量为m、电量为q的光滑小球,静止放在桌面上与圆环中心O点非常接近的位置处。”
“设圆环上电荷的分布不受小球电荷的影响,试判断小球之后的运动是否为振动?”
“若为振动,设小球初始位置与O点的距离r0<<R,试用适当的近似方法估算小球的振动周期T。”
估算与严格计算的区别在于,估算可以绕过复杂的数学演算,直接获得正确的定性结论和比较接近的粗略定量结果。
就初赛最后一道计算题而言,小球的运动是振动还是非振动,沈奇必须给出定性结论,判断不得有误。这是第一步。
对于同一道物理题,如果采用估算方法,可选择的途径往往不止一条。
很明显,这是道电磁学题目,沈奇在诸多种估算方法中,选择静电场高斯定理为依据开始答题。
沈奇作出一个辅助图,取通过O点并与圆环平面垂直的轴为x轴。
在圆平面上以O点为圆心,作半径为r的圆。
将此圆沿x轴的正负方向各延展l,一个圆柱面就此形成。
沈奇取此圆柱面为高斯面,因其中无电荷,根据高斯定理可得:
?E*ds=0
高斯定理一祭出,真相越来越清晰。
带正电的小球所受静电力总是指向圆环中心O点,为恢复性保守力,小球的运动为振动,振动中心就是O点。
沈奇很快解决了第一问,这就是定性给结论,接受过物竞培训的学生应该都能给出正确的结论性判断。
第二问要求沈奇估算小球的振动周期T,稍微麻烦一点点。
圆柱两端面的电通量可以近似的用x轴上的电场强度来计算,沈奇作出计算:
E1=λ(2πR)l/4πε(R^2+l^2)^3/2=λRl/2ε(R^2+l^2)^3/2
那么通过两端面的电通量近似值就出来了:
?两端面E*ds≈E1*2πr^2
通过圆柱侧面的电通量可以近似的用圆平面上与O点相距为r处的电场强度Er来计算,根据高斯定理可得:
?圆柱面E*ds=?两端面E*ds+?侧面E*ds=0
那么带电小球在r处所受静电力为:
Fr=qEr=-λq/4εR^2*r
考虑到线性恢复力,小球在它的作用下将绕O点做简谐振动。
所以周期T=4πR根号εm/λ